Haakjes en tekenregels

Hoger hebben we gezien dat elk geheel getal twee soorten informatie bevat: 

1. de afstand van het getal tot 0, en 
2. de toestand van het getal (positief of negatief).

Het eerste wordt uitgedrukt door de absolute waarde, het tweede door het toestandsteken. Het positieve toestandsteken is het plusteken (+), het negatieve toestandsteken is het minteken (–). 

Diezelfde tekens (plus en min) worden ook gebruikt voor bewerkingen, en worden dan bewerkingstekens genoemd: het plusteken wordt gebruikt voor de optelling en het minteken voor de aftrekking.

Wanneer we gehele getallen bij elkaar optellen, of een geheel getal van een ander aftrekken, kunnen we dus combinaties krijgen van plustekens en mintekens, waarbij sommige van deze tekens bewerkingstekens zijn en andere toestandstekens. 

Stel bijvoorbeeld dat we –4 willen aftrekken van –8. In dat geval zullen we drie mintekens nodig hebben: een eerste omdat het gaat om een aftrekking, en twee andere omdat we te maken hebben met negatieve gehele getallen. In symbolen wordt dit:

(–8)–(–4)

Het minteken in het blauw is het bewerkingsteken, de twee mintekens in het rood zijn toestandstekens. 

In de bewerking hierboven hebben we haakjes gebruikt rond de gehele getallen. Dit doen we om de leesbaarheid te verhogen en om verwarring te vermijden. Met de haakjes rond de getallen, kan je in één oogopslag zien wat de vorm is van de bewerking: in het midden staat het bewerkingsteken, links en rechts daarvan staat een getal. Maar, omdat we lui zijn en liefst zo weinig mogelijk tekens gebruiken, spreken we wel af dat je de haakjes rond de eerste term mag weglaten. In plaats van

(–8)–(–4)

We zullen nu tonen dat we de bewerking –8–(–4) met nog minder tekens kunnen schrijven zonder dat daardoor de uitkomst verandert. Daarvoor zullen we gebruik maken van iets dat we hebben gezien in Wat is een geheel getal?, namelijk de notie tegengestelde van een getal.

Steunend op deze regels kunnen we de bovenstaande bewerking als volgt herschrijven:

–8+4

 Je ziet dat je nu veel minder tekens hebt, maar de uitkomst is gelijk gebleven, namelijk –4. 

Hoe je die uitkomst zelf kan berekenen zullen we later zien, als we het hebben over het optellen en aftrekken van gehele getallen. Het enige dat we nu zullen bekijken is hoe je een bewerking kan herschrijven met minder tekens, zonder dat de uitkomst verandert. 

Dat laatste is uiteraard belangrijk. Stel je bijvoorbeeld voor wat er zou gebeuren wanneer je bank, voor het berekenen van wat er op je bankrekening staat, een computerprogramma zou gebruiken dat de uitkomst van bewerkingen verandert. In dat geval zou het kunnen dat je papa 50 euro op je rekening stort, maar dat het totaal op je bankrekening met 50 euro naar beneden gaat! 

Laat ons terugkeren naar het bovenstaande voorbeeld: –4 aftrekken van –8. Aangezien het gaat om een aftrekking waarbij beide termen negatieve getallen zijn, zijn we vertrokken van een uitdrukking met drie mintekens:

(–8)–(–4)

Door te steunen op de afspraken in verband met haakjes, namelijk dat de haakjes rond de eerste term weggelaten mogen worden, bekomen we 

–8–(–4)

Nu zal ik tonen dat we dit met nog minder tekens kunnen noteren. We zullen dit doen door de combinatie –(–te vervangen door één enkel teken. Welk teken zal dit worden? Om deze vraag te kunnen beantwoorden, kijken we eerst wat

–(–4)

uitdrukt. 

Zoals we in Wat is een geheel getal? hebben gezien, verwijzen we met de tekenreeks –(–4) naar het tegengestelde van het getal –4. Wat is het tegengestelde van het getal –4? Als je het antwoord op deze vraag niet meteen ziet, denk dan aan de vergelijking met de Hilbert Wolkenkrabber: als je het tegengestelde moet doen van vier verdiepingen dalen, dan moet je vier verdiepingen stijgen. Het tegengestelde van –4, in symbolen –(–4), is dus gelijk aan +4:

–(–4) = +4 

Dit kunnen we nu gebruiken om van de bovenstaande aftrekking een optelling te maken die precies dezelfde uitkomst zal hebben:

–8–(–4) = –8+4

Links van het gelijkheidsteken staat de oorspronkelijke bewerking: –4 aftrekken van –8. Rechts van het gelijkheidsteken staat een optelling: 4 optellen bij –8. Deze optelling geeft je dezelfde uitkomst als de oorspronkelijke aftrekking. 

Als je het niet meteen ziet, bekijk het opnieuw in termen van de vergelijking met de Hilbert Wolkenkrabber. Wat links van het gelijkheidsteken staat, kan je lezen als: "ga naar verdieping min 8 en doe dan het tegengestelde van vier verdiepingen dalen". Wat rechts staat van het gelijkheidsteken, kan je lezen als: "ga naar verdieping min 8 en stijg vier verdiepingen". Of je nu het ene doet, of het andere, het resultaat zal zijn dat je uiteindelijk terechtkomt op verdieping min 4, en dat is de uitkomst van zowel de aftrekking als de optelling:

–8–(–4) = –8+4 = –4 

Dit kunnen we nu in een algemene regels gieten, die in handboeken wiskunde tekenregels worden genoemd. Deze tekenregels zeggen op welke manier je een combinatie van een bewerkingsteken en een toestandsteken door één enkel teken vervangen.

Aangezien er twee verschillende bewerkingstekens zijn (het plusteken voor optellen en het minteken voor aftrekken) en twee toestandstekens (het plusteken voor positieve getallen en het minteken voor negatieve getallen), zijn er vier mogelijke combinaties:

1. +(+
2. +(–
3. –(+
4. –(–

Zoals je zelf kan nagaan, doen combinaties 1 en 2 zich voor wanneer je een geheel getal optelt bij een ander getal. Combinatie 1 krijg je wanneer je een positief geheel getal optelt bij een ander getal, combinatie 2 wanneer je een negatief getal optelt bij een ander getal.

Combinaties 3 en 4 doen zich voor wanneer je een geheel aftrekt van een ander getal. Combinatie 3 krijg je wanneer je een positief getal aftrekt en combinatie 4 wanneer je een negatief getal aftrekt. Dat is de combinatie die we hierboven hebben gezien. 

Om alles zo eenvoudig te maken, zullen we een onderscheid maken tussen twee tekenregels, en we zullen die ook een naam geven.

De tekenregel voor de optelling zullen we regel T+ (T-plus) noemen en deze voor de aftrekking zullen we T– (T-min) noemen. 

Voor combinaties 1 en 2 (deze dus waar je te maken hebt met een optelling), zegt de tekenregel dat je het bewerkingsteken gewoon mag laten vallen. Voor combinaties 3 en 4 moet je twee stappen zetten: je laat het bewerkingsteken voor de aftrekking vallen én je neemt het tegengestelde van de aftrekker (het getal dat je aftrekt). Door welk teken je een combinatie van een bewerkingsteken en een toestandsteken mag vervangen, hangt dus af van de vraag of je te maken hebt met een optelling of een aftrekking.

Samenvattend kan je de tekenregel als volgt formuleren: 

1. Als het bewerkingsteken een plusteken is, dan mag je het bewerkingsteken laten vallen.
2. Als het bewerkingsteken een minteken is, dan mag je het bewerkingsteken laten vallen, maar dan moet je tegelijk het tegengestelde nemen van het getal dat erop volgt. Concreet komt dat laatste erop neer dat je een positief toestandsteken naar een negatief verandert, en omgekeerd.

Hieronder passen we de tekenregl toe op elk van de vier combinaties.

Combinatie 1: plus gevolgd door plus. Een voorbeeld van deze combinatie:

–81+(+42)

Zoals je ziet aan het blauwe bewerkingsteken, hebben we hier te maken met een optelling. Daarvoor zegt de tekenregel dat we het bewerkingsteken mogen laten vallen. We krijgen dus:

–81+42

Combinatie 2: plus gevolgd door min. Een voorbeeld van deze combinatie:

–17+(–24)

Zoals je ziet aan het blauwe bewerkingsteken, hebben we hier te maken met een optelling. Daarvoor zegt de tekenregel dat we het bewerkingsteken mogen laten vallen. We krijgen dus:

–17+24

Combinatie 3: min gevolgd door plus. Een voorbeeld van deze combinatie:

–36–(+54)

Zoals je ziet aan het blauwe bewerkingsteken, hebben we hier te maken met een aftrekking. Daarvoor zegt de tekenregel dat we het bewerkingsteken mogen laten vallen op voorwaarde dat we het toestandsteken veranderen. Het toestandsteken dat volgt op het bewerkingsteken is positief (+54). We laten dus het blauwe bewerkingsteken vallen en veranderen het daaropvolgende toestandsteken van negatief naar positief. Dit geeft ons:

–36–54

Combinatie 4: min gevolgd door min. Dat is de combinatie die we bij het begin van deze tekst hebben bekeken. Een ander voorbeeld van deze combinatie:

–85–(–47)

Zoals je ziet aan het blauwe bewerkingsteken, hebben we hier te maken met een aftrekking. Daarvoor zegt de tekenregel dat we het bewerkingsteken mogen laten vallen op voorwaarde dat we het toestandsteken veranderen. Het toestandsteken dat volgt op het bewerkingsteken is negatief (–47). We laten dus het blauwe bewerkingsteken vallen en veranderen het daaropvolgende toestandsteken van negatief naar positief. Dit geeft ons:

–85+47