Gehele getallen op de getallenas

In de tekst Van natuurlijke naar gehele getallen (stap 1 in dit leerpad), heb je gelezen dat de vergelijking tussen de gehele getallen en de verdiepingen in de Boerentoren op een bepaald punt mank loopt. De Boerentoren heeft zowel een hoogste als een laagste verdieping, maar er is geen grootste geheel getal en ook geen kleinste. 

Om een goede vergelijking te bekomen tussen de gehele getallen en de verdiepingen in een torengebouw, zou je je dus eigenlijk een gebouw moeten voorstellen met een oneindig aantal verdiepingen boven de grond én een oneindig aantal verdiepingen onder de grond. Laat ons een dergelijk gebouw een Hilbert wolkenkrabber noemen, naar de wiskundige David Hilbert die veel over oneindigheden heeft gewerkt.

David Hilbert introduceerde het beeld van een hotel met een oneindig aantal kamers. Een dergelijk denkbeeldig hotel noemen we vandaag een Hilbert hotel en het beeld wordt gebruikt om de paradoxen rond oneindige verzamelingen uit te leggen. Je moet maar eens googelen op "Hilbert hotel" om leuke filmpjes hierover te vinden.

Maar wij zullen het dus hebben over een Hilbert wolkenkrabber, waarmee we een wolkenkrabber bedoelen met een oneindig aantal verdiepingen boven de grond, een oneindig aantal verdiepingen onder de grond, en een reeks liften, waarvan er altijd minstens één klaar staat op de benedenverdieping. Aangezien er geen hoogste verdieping is, moet elk van de liften oneindig kunnen stijgen, en aangezien er geen laagste verdieping is, moet elk van de liften oneindig kunnen dalen. Je stuurt ze dus best niet allemaal naar oneindig (in een van de twee richtingen), want dan zie je ze nooit terug.

Hiernaast zie je de Hilbert Wolkenkrabber afgebeeld. De benedenverdieping is grijs ingekleurd, de verdiepingen boven de grond groen, en de verdiepingen onder de grond rood.

Elke verdieping bevat het nummer van de verdieping. Voor de verdiepingen onder de grond gebruiken we negatieve gehele getallen, voor deze boven de grond gebruiken we positieve gehele getallen. Het positieve toestandsteken laten we weg, zoals we dat ook in echte gebouwen doen. Voorbeeld: naar de negende verdieping boven de grond verwijzen we eenvoudigweg met "9" en niet met "+9". Voor de verdiepingen onder de grond gebruiken we uiteraard wel het toestandsteken, zoals in "ik ga naar min 3" of "mijn fiets staat op min 1".

Bovenaan en onderaan zie je een halve verdieping met daarin drie puntjes. Dit is om aan te geven dat er geen hoogste en ook geen laagste verdieping is. Uiteraard kan een Hilbert wolkenkrabber niet worden gebouwd. Maar dat neemt niet weg dat je kan proberen om je een wereld voor te stellen waarin dat wel zou kunnen en dat je in je gedachten kan spelen met het idee. Dat is wat filosofen een gedachtenexperiment noemen: je stelt je iets voor dat in de concrete wereld niet kan bestaan, en je gebruikt dat om iets dat anders heel abstract is (zoals het idee van een geheel getal, of het idee van een oneindige verzameling) toch wat concreter te maken. 

Laat ons wat experimenteren met onze Hilbert wolkenkrabber. Stel je voor dat we onze Hilbert wolkenkrabber uitgraven, en op zijn rechterzij leggen, zoals op de foto hieronder, maar dan voor de Hilbert wolkenkrabber in plaats van voor de Boerentoren. 

Zie je de gelijkenis met de getallenas (ook wel getallenlijn genoemd) die gebruikt wordt om de getallen van klein naar groot te ordenen? Het getal 0 komt overeen met de benedenverdieping (in het rood op de foto), en voor elke verdieping, boven of onder de grond, is er een streepje waar het nummer van de verdieping bij staat. 

Hieronder heb je een voorbeeld van een getallenas waarop de getallen van –9 tot 9 zijn geordend:

In het midden van deze getallenas heb je het getal 0. Rechts daarvan, op het blauwe lijnstuk, heb je de (strikt) positieve getallen 1 tot en met 9. Links van 0, op het rode lijnstuk, heb je de (strikt) negatieve getallen –1 tot en met –9. In het algemeen bevinden de positieve gehele getallen zich rechts van 0, en de negatieve gehele getallen links van 0. 

Maak je de lijn langer aan de rechterkant, dan kan je ook getallen groter dan 9 afbeelden: 10 komt rechts van 9, 11 komt rechts van 10, enzovoort. Maak je de lijn langer aan de linkerkant, dan kan je ook getallen kleiner dan –9 afbeelden: –10 komt links van –9, –11 komt links van –9, enzovoort.   

Voor sommige getallen, zoals één miljard (een één gevolgd negen nullen) en het tegengestelde van één miljard, zijnde min één miljard, of in cijfers –1000.000.000, wordt de lijn wel heel erg lang. Immers, als je, zoals op de getallenas hierboven, tussen 0 en 1 een afstand van één centimeter laat, dan zou je een blad nodig hebben dat even lang is als de omtrek van de aarde om het getal één miljard op je getallenlijn te kunnen plaatsen. Wil je zowel één miljard als min één miljard afbeelden, dan zou het blad twee keer zo lang moeten zijn als de omtrek van de aarde. Of neem het getal googol, dat is een één gevolgd door 100 nullen. Om dat af te beelden op je getallenas zou je blad vele malen rond de aarde moeten gaan.

Maar laat ons de draad terug opnemen, en het hebben over de pijlpunten op de getallenas. In de lessen wiskunde wordt er meestal slechts één pijlpunt gebruikt om de oriëntatie van de as aan te duiden. Met de oriëntatie van de getallenas wordt de richting bedoeld waarin je de getallen van klein naar groot ordent. Wijst de ene pijlpunt naar rechts, dan orden je van klein naar groot van links naar rechts, zoals op de afbeelding hierboven.

Belangrijk om te onthouden is wel dat, zelfs als er maar één pijlpunt staat, de getallenas voor de gehele getallen geen eindpunt heeft (want er is geen grootste geheel getal), maar ook geen beginpunt (want er is geen kleinste geheel getal). Dat is dus verschillend van de getallenlijn die je in de lagere school hebt gezien voor de natuurlijke getallen. Daar was ook geen eindpunt, maar wel een beginpunt, namelijk 0.

Hoe ga je te werk als je zelf een getallenas moet tekenen? Wel, je trekt eerst een lijn en voegt een pijlpunt toe aan de rechterkant. Ergens in het midden van je lijnstuk zet je een streepje met daarbij het getal 0. Daarna ga je je getallenas ijken. Dat betekent dat je de afstand bepaalt tussen het getal 0 en het getal 1. Daarvoor zet je rechts van 0 op een bepaalde afstand (bijvoorbeeld 1cm) een tweede streepje, en daarbij zet je het getal 1. Vervolgens zet je de volgende positieve getallen (2, 3, 4, ...) rechts van 1, telkens op dezelfde afstand als je hebt tussen 0 en 1. Links van 0 doe je hetzelfde voor de negatieve gehele getallen (–1, –2, –3, ...).  

Verder in het leerpad zullen we bewerkingen zien met gehele getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen). Een belangrijk begrip daarbij is dat van "absolute waarde". Met de absolute waarde van een getal, bedoelen we de afstand van dit getal tot 0. Op een geijkte getallenas komt dit overeen met het aantal "sprongen" naar links of naar rechts dat je moet maken om uit te komen op het getal in kwestie. Bekijk terug de getallenas die we hierboven ook reeds hebben gebruikt, en zoek het getal 5:

Om het getal 5 te bereiken vanaf 0 op deze as, moet je vijf streepjes naar rechts tellen. De absolute waarde van 5 is dus 5. Zoek nu het getal –5 en tel het aantal streepjes vanaf 0 tot –5. Dat zijn er ook vijf. De absolute waarde van –5 is dus ook 5. 

Naar de absolute waarde van een getal verwijzen we door dat getal tussen verticale lijntjes te plaatsen, zo verwijst |-3| naar de absolute waarde van –3, en dus naar 3. Je kan dus schrijven:

|-3| = 3

wat je leest als "de absolute waarde van -3 is 3".

Met elk punt op de getallenas komt een getal overeen. Het getal dat bij een bepaald punt op de as hoort, noemen we de abscis van dat punt. Bekijk bijvoorbeeld de as hieronder. Welk geheel getal hoort bij het punt A op deze as? Om A te bereiken moet je vijf streepjes naar links tellen. Het getal dat bij punt A hoort, is dus –5.

Zoals je zelf zal hebben gemerkt, zijn de begrippen "absolute waarde" en "abscis" verwant aan elkaar, maar let goed op het verschil. De absolute waarde is een eigenschap van een getal. Je spreekt dus over de absolute waarde van een getal, en je verwijst ermee naar het getal dat je bekomt wanneer je het toestandsteken weglaat. De abscis is een eigenschap van een punt op de getallenas. Je spreekt dus over de abscis van een punt op de getallenas, en verwijst daarmee naar het getal dat bij dat punt hoort.