Natuurlijke getallen

Stap 1. Maak een nota over de vraag "Wat zijn natuurlijke getallen?"

Voor je nota kan je het filmpje WisWereld: Wat zijn natuurlijke getallen bekijken, maar je kan ook de onderstaande tekst lezen.  Je kan uiteraard ook beide doen.

Er zijn verschillende soorten getallen. De eerste die je als klein kind leert, zijn de natuurlijke getallen. De natuurlijke getallen zijn alle hele getallen, getallen die je gebruikt om uit te drukken hoeveel dingen er van iets zijn, zonder dat je die dingen in stukken breekt of verdeelt. Bijvoorbeeld: er zijn vijftien leerlingen in je klas, je hebt vier (hele) pizza's in de diepvries, er staan twee auto's voor de deur, en je papa heeft nul muntstukken in zijn linker broekzak. 

Er is een kleinste natuurlijk getal, namelijk nul, maar er is geen grootste natuurlijk getal. Er zijn dus oneindig veel natuurlijke getallen en dus is ook de verzameling van de natuurlijke getallen oneindig (ze bevat oneindig veel elementen). 

In de module over verzamelingenleer heb je gezien dat je eindige verzamelingen kan bepalen door opsomming, namelijk door de leden op te sommen binnen accollades en deze van elkaar te scheiden door komma's. De verzameling van de natuurlijke getallen, groter dan nul maar kleiner dan vijf, kan je bijvoorbeeld bepalen als {1, 2, 3, 4}, maar ook als {1, 3, 2, 4} en {4, 3, 2, 1}. De volgorde waarin je de elementen opsomt, maakt (althans voor eindige verzamelingen) immers geen verschil.

Ook sommige oneindige verzamelingen kan je bepalen door opsomming, maar alleen als je de leden, volgens een bepaalde regel, in een (oneindig) rijtje kan zetten zodat elk lid ergens in dit oneindige rijtje voorkomt. Voor de natuurlijke getallen kan je een dergelijk rijtje maken: je begint bij nul, je telt daar één bij op om één te bekomen, en daarna tel je telkens opnieuw één op bij het resultaat. Op die manier bekom je: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, enzovoort. De verzameling van de natuurlijke getallen kan je dus bepalen door opsomming. 

Als je naar de verzameling van de natuurlijke getallen wil verwijzen door opsomming let dan op de volgende zaken:

1. Zet accollades rond de getallen die je opsomt en scheid ze van elkaar door komma's. 
2. Vergeet de drie puntjes niet op het einde (op die manier maak je duidelijk dat het nooit stopt, en dus dat de verzameling oneindig is).
3. Gebruik minstens een vijftal getallen en orden ze van klein naar groot. Op die manier kan iedereen het patroon zien ("telkens één meer") en zal iedereen dus begrijpen naar welke verzameling je verwijst. Als je bijvoorbeeld {1, 4, 5, 0, 2, 3, ...} zou neerschrijven, dan is het patroon niet duidelijk. Welk getal zou immers moeten volgen op 3 in het rijtje 1, 4, 5, 0, 2, 3? Bijgevolg verwijst {1, 4, 5, 0, 2, 3, ...} niet naar de verzameling natuurlijke getallen, ook al worden dezelfde elementen vermeld als in {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. 

Als je deze afspraken volgt, dan bekom je bijvoorbeeld {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Naar de verzameling van de natuurlijke getallen kan je ook verwijzen met één enkel teken, namelijk ℕ, een hoofdletter N dus, maar met een dubbele schuine streep. 

Om uit te drukken dat ℕ en {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} naar dezelfde verzameling verwijzen (namelijk de verzameling van de natuurlijke getallen), gebruik je een gelijkheidsteken:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Dut kan je lezen als "ℕ is gelijk aan de verzameling van de natuurlijke getallen", maar ook, en eigenlijk beter, als "ℕ staat voor de verzameling van de natuurlijke getallen".

Om naar getallen te verwijzen kan je woorden gebruiken (zoals "vier", "vijfentachtig", "honderd", ...), maar ook symbolen of tekens. Er zijn archeologische vondsten die erop wijzen dat het gebruik van tekens om naar getallen te verwijzen ouder is dan het schrift (dat wordt gebruikt om wetten, verhalen, gedichten, ... neer te schrijven). 

Zoals je misschien weet, werden de oudste bewijzen van schrift gevonden in Sumer, een gebied aan de Perzische golf dat nu tot Irak behoort. Het gaat om kleitabletten waar afbeeldingen of tekens op staan. Deze afbeeldingen en tekens werden door de Soemeriërs (de toenmalige inwoners van Sumer) met een riet aangebracht op de kleitabletten op een ogenblik dat deze nog vochtig waren. 

De oudste kleitabletten die werden teruggevonden zijn zo'n 3500 jaar oud. Deze bevatten herkenbare afbeeldingen waarbij een tekening van het hoofd van een koe bijvoorbeeld werd gebruikt om te verwijzen naar een koe. Een schrift dat dergelijke herkenbare tekeningen bevat en waarbij elke afbeelding staat voor een ding (zoals een koe) of voor een begrip (zoals "vriendschap") noemt men een beeldschrift. Links hieronder zie je een voorbeeld van een kleitablet met daarop beeldschrift. 

In de daarop volgende eeuwen werden deze tekeningen abstracter en ontstond wat men nu het spijkerschift noemt, een voorbeeld vind je op de tweede foto van links hieronder. Deze ontwikkeling van herkenbare afbeeldingen naar "spijkers" had te maken met het feit dat het tekenen van gebogen lijnen op vochtige kleitabletten moeilijk is en zeer traag gaat. Toen er meer en meer werd geschreven in Sumer en de teksten ook langer werden, werd dus gezocht naar manieren om sneller en gemakkelijker te kunnen schrijven, en zo ontstond uiteindelijk het spijkerschrift. Dat de tekens de vorm van spijkers hebben, is niet toevallig. Het riet dat werd gebruikt om te schrijven werd in een driehoek gesneden. Als je strepen trekt in een vochtige kleitablet met een dergelijke "stift", dan krijg je lijntjes met een driehoekig kopje. 

Het Sumerische spijkerschrift was niet eenvoudig. Er waren zo'n 600 verschillende tekens. Sommige daarvan stonden voor één lettergreep van een woord in het Sumerisch, andere voor een combinatie van lettergrepen, en nog andere voor een volledig woord. Niettemin zijn archeologen en taalkundigen erin geslaagd deze tekens te ontcijferen en kunnen we dus lezen wat er op deze oude kleitabletten is geschreven. 

Zo zijn er dierenbeentjes gevonden van meer dan 20.000 jaar oud waarop gegroepeerde streepjes zijn aangebracht en die er volgens archeologen op wijzen dat sommige prehistorische stammen reeds een systeem hadden bedacht om het resultaat van tellingen bij te houden. Het oudste dergelijke beentje, gekend als het Ishango-beentje, zie de linker afbeelding hieronder, dateert van ongeveer 22.000 jaar voor Christus en wordt beschouwd als de oudste wiskundige vondst van de mensheid. Het gaat om een kuitbeen van een baviaan waarin streepjes zijn gekerfd en dat vermoedelijk werd gebruikt als een soort telstokje. Het werd in 1960 gevonden in Belgisch-Congo en wordt sindsdien bewaard in het Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen in Brussel. (Het oudste schrift ter wereld is dat van de Soemeriërs en ontstond pas rond 3500 voor Christus, veel later dus dan de eerste "telstokjes". Vergeet ook niet dat de moderne mens in Afrika is ontstaan, rond 300.000 voor Christus, en dat de verspreiding van de moderne mens in Europa pas is begonnen rond 45.000 voor Christus. Het is dus vermoedelijk niet toevallig dat de vroegste tekenen van tellen in Afrika werden gevonden.) 

Als voorbeelden van symbolen kan je denken aan onze cijfers 0 tot en met 9, maar ook aan de Romeinse cijfers I, V, X, L, C, M — ik kom hier verder nog op terug.

Een ander voorbeeld zijn (groepjes van) verticale streepjes, zoals wanneer je tijdens een kaartspel |||| neerschrijft om te verwijzen naar een score van 4 punten en || om te verwijzen naar een score van 2 punten.  

De woorden die worden gebruikt om naar getallen te verwijzen, verschillen van taal tot taal. Hieronder vind je bijvoorbeeld acht verschillende woorden om te verwijzen naar het getal dat wij in het Nederlands "acht" noemen:

• eight (Engels)
• huit (Frans)
• otto (Italiaans)
• nane (Swahili)
• thamania (Arabisch)
• tám (Vietnamees)
• osiem (Pools)
• delapan (Indonesisch) 

Aangezien er naar schatting zo'n 6000 à 7000 talen bestaan en elke taal haar eigen woorden heeft voor de getallen, zijn er dus letterlijk duizenden verschillende woorden om naar een en hetzelfde getal te verwijzen. 

Bij het gebruik van symbolen heb je veel minder variatie. Niet alleen zijn er veel minder verschillende getalstelsels dan talen

Dit komt omdat tegenwoordig bijna overal ter wereld dezelfde cijfers worden gebruikt in de lessen wiskunde (de zogenaamde Indisch-Arabische cijfers) en hetzelfde getalstelsel (het zogenaamde decimale stelsel). 

Indisch-Arabische cijfers worden gebruikt in de lessen wiskunde 

Het werken met steentjes of met streepjes om aantallen weer te geven is zeer natuurlijk en werkt goed voor kleine aantallen, maar wordt moeilijk als je met grotere getallen wil werken. Stel je bijvoorbeeld voor dat je papa, sinds je geboorte, op de avond van elke nieuwe dag een streepje op je slaapkamer muur zou hebben gezet, dan zou die muur intussen vol streepjes staan en zou het niet mogelijk zijn om in één oogopslag te zien hoeveel dagen je al hebt geleefd. Reeds op je eerste verjaardag zou het niet mogelijk zijn geweest om meteen te zien hoeveel streepjes er stonden, of het er bijvoorbeeld driehonderdvijfenzestig waren of driehonderdzesenzestig.

Een oplossing daarvoor kan zijn dat je de streepjes gaat groeperen. Dat is wat men heeft teruggevonden op het Ishango-beentje en dat is wat we vandaag ook nog doen wanneer we turven, bijvoorbeeld om de score bij te houden tijdens een kaartspel.  

Bij turven groeperen we streepjes in groepjes van vijf: vier verticale streepjes naast elkaar, met daarover een vijfde schuin streepje, zie de afbeelding links onder. Dit werkt goed als de getallen niet te groot zijn. Op de foto in het midden kan je vrij snel zien hoeveel ijsjes zijn verkocht op welke dag. Het wordt wel terug moeilijk als je met iets grotere getallen gaat werken. Had je papa de dagen sinds je geboorte bijgehouden door te turven in plaats van door gewoon streepjes te trekken, dan zou de muur van je slaapkamer, ergens in je vijfde levensjaar, er hebben uitgezien zoals op de foto rechtsonder, wat nog steeds niet echt handig is om te zien hoeveel dagen je al hebt geleefd. 

Vandaag worden de Indisch-Arabische cijfers bijna overal ter wereld aangeleerd in de lessen wiskunde, ook in landen, zoals China, waar nog andere tekens worden gebruikt om te verwijzen naar aantallen. 

Hetzelfde geldt voor het getalstelsel dat wordt gebruikt in de lessen wiskunde. Ook dat is overal ter wereld hetzelfde en wordt het