Hilbert wolkenkrabber
In 1924 bedacht de wiskundige David Hilbert het idee van een hotel met een oneindig aantal kamers om de paradoxen rond oneindige verzamelingen uit te leggen. Een dergelijk denkbeeldig hotel noemen we vandaag een Hilbert hotel.
Op deze pagina's zullen we geregeld gebruik maken van de Hilbert wolkenkrabber, waarmee ik verwijs naar een denkbeeldig gebouw met een oneindig aantal verdiepingen boven de grond, een oneindig aantal verdiepingen onder de grond, en een lift die geen eindpunt heeft (en dus alsmaar hoger kan gaan), maar ook geen beginpunt (en dus alsmaar lager kan gaan).
Als deze wolkenkrabber in Gent zou staan, dan zou die helemaal door de aarde gaan. Je zou dus in Gent in de lift kunnen stappen en ergens bij onze tegenvoeters in Australië uit de lift stappen, maar daar zou het niet stoppen. Doordat de Hilbert Wolkenkrabber geen laagste verdieping heeft, zou je nooit een punt bereiken waar je niet meer zou kunnen dalen.
Uiteraard kan een Hilbert wolkenkrabber niet worden gebouwd. Maar dat neemt niet weg dat je kan proberen om je een wereld voor te stellen waarin dat wel zou kunnen en dat je in je gedachten kan spelen met het idee. Dat is wat filosofen een gedachtenexperiment noemen: je stelt je iets voor dat in de concrete wereld niet kan bestaan, en je gebruikt dat om iets dat anders heel abstract is (zoals het idee van een geheel getal, of het idee van een oneindige verzameling) toch wat concreter te maken.
Hiernaast zie je de Hilbert Wolkenkrabber afgebeeld. De benedenverdieping is grijs ingekleurd, de verdiepingen boven de grond groen, en de verdiepingen onder de grond rood.
Elke verdieping bevat het nummer van de verdieping. Voor de verdiepingen onder de grond gebruiken we negatieve gehele getallen, voor deze boven de grond gebruiken we positieve gehele getallen. Het positieve toestandsteken laten we weg, zoals we dat ook in echte gebouwen doen. Voorbeeld: naar de negende verdieping boven de grond verwijzen we eenvoudigweg met "9" en niet met "+9". Voor de verdiepingen onder de grond gebruiken we uiteraard wel het toestandsteken, zoals in "ik ga naar min 3" of "mijn fiets staat op min 1".
Bovenaan en onderaan zie je een halve verdieping met daarin drie puntjes. Dit is om aan te geven dat er geen hoogste en ook geen laagste verdieping is.
Het beeld van de Hilbert wolkenkrabber zal ik gebruiken om uit te leggen wat positieve en negatieve getallen zijn, wat een geheel getal is, wat de absolute waarde is van een geheel getal, en wat tegengestelde getallen zijn. Ik zal het beeld ook gebruiken om het optellen van gehele getallen aanschouwelijk te maken.
