Spelen met gehele getallen

Hoe wordt het spel gespeeld?

• Joke en Silke stellen afwisselend vragen aan elkaar. Als Joke een vraag stelt, dan moet Silke die beantwoorden en omgekeerd.

• De vragen en antwoorden staan op vragenkaartjes. Deze zijn verdeeld over drie stapeltjes en liggen omgekeerd op tafel.

• Er zijn vragenkaartjes in drie verschillende kleuren (wit, geel, blauw). In elk van de stapels hebben alle vragenkaartjes dezelfde kleur. Er is dus een stapeltje met alleen witte kaartjes, een met alleen gele kaartjes, en een met alleen blauwe kaartjes.

• De kleur van de kaartjes geeft de moeilijkheidsgraad van de vraag weer. De vragen op de witte kaartjes zijn gemakkelijk, die op de gele kaartjes zijn "gewoon", en die op de blauwe kaartjes zijn moeilijk.

• De speler die aan beurt is om een vraag te beantwoorden, mag kiezen van welk stapeltje een kaart wordt genomen, en dus hoe moeilijk de vraag zal zijn. De speler die aan beurt is om een vraag te stellen, moet een kaart omdraaien van het door de tegenspeler gekozen stapeltje.

• Elke correct beantwoorde vraag levert een of meer bonuspunten op. Elke fout beantwoorde vraag levert een of meer strafpunten op. Hoeveel bonuspunten of strafpunten het beantwoorden van een vraag oplevert, hangt af van de moeilijkheidsgraad: 1 bonuspunt (of strafpunt) voor de gemakkelijke vragen, 2 bonuspunten (of strafpunten) voor de "gewone" vragen en 3 bonuspunten (of strafpunten) voor de moeilijke vragen.

• Naast vragenkaartjes zijn er ook puntenkaartjes. Deze zijn groen of rood. Groene puntenkaartjes staan voor bonuspunten en rode puntenkaartjes voor strafpunten. Op elk puntenkaartje staat ook een getal: 1, 2 of 5. Deze getallen staan voor de waarde van het puntenkaartje. Voorbeelden: een groen puntenkaartje met daarop het getal 2 staat voor 2 bonuspunten, een rood puntenkaartje met daarop het getal 5 staat voor 5 strafpunten.

• Bij het begin van het spel krijgen zowel Joke als Silke een aantal bonuspunten en een aantal strafpunten. Die zijn als volgt verdeeld: tien bonuspunten met waarde 1 en tien strafpunten met waarde 1,  vijf bonuspunten met waarde 2 en vijf strafpunten met waarde 2, twee bonuspunten met waarde 5 en twee strafpunten met waarde 5. Het idee is dat bonuspunten voor positieve getallen staan en strafpunten voor negatieve getallen. Bij aanvang van het spel is de score van beide spelers dus 0, want ze hebben elk precies even veel bonuspunten als strafpunten. De samenvatting van de verdeling zie je in de tabel hieronder.

• Wanneer een speler een vraag juist beantwoordt, dan krijgt die van de tegenspeler het juiste aantal bonuspunten. Voorbeeld: Silke geeft een correct antwoord op een moeilijke vraag, en krijgt daarvoor 3 bonuspunten van Joke. Wanneer een speler daarentegen een vraag fout beantwoordt, dan krijgt die daarvoor het passende aantal strafpunten. Voorbeeld: Joke geeft een fout antwoord op een gewone vraag, en krijgt daarvoor 2 strafpunten van Silke.

• Tijdens het spel moeten zowel Joke als Silke de stand van hun punten bijhouden. Het idee daarbij is dat het krijgen van punten (positief of negatief) kan worden gezien als iets optellen bij je score en het weggeven van punten (positief of negatief) kan worden gezien als iets aftrekken van je score.  Dus: het krijgen van 1 bonuspunt verhoogt de score met 1 punt en het krijgen van 1 strafpunt verlaagt de score met 1 punt. Voor wie punten weggeeft is het net andersom: het weggeven van 1 bonuspunt verlaagt de score met 1 punt en het weggeven van 1 strafpunt verhoogt de score met 1 punt. 

• Telkens wanneer een of meer puntenkaarten van speler wisselen, moeten zowel Joke als Silke het effect daarvan voor hun eigen score noteren. Ze doen dat door één lange bewerking te maken die begint met 0 (de beginscore) en afwisselend wordt gevolgd door een optelling en een aftrekking. Welk (geheel) getal ze neerschrijven hangt af van de waarde van het bonuspunt of strafpunt dat ze krijgen of weggeven.

• Het doel bestaat erin om een zo hoog mogelijke score te behalen. Daarvoor moet je proberen zoveel mogelijk vragen goed te beantwoorden (want dan krijg je bonuspunten), en moet je erop hopen dat je tegenstander zoveel mogelijk vragen fout zal beantwoorden (want dan kan je strafpunten weggeven). In beide gevallen (bonuspunten krijgen, strafpunten weggeven) gaat je score omhoog. In de twee andere gevallen (bonuspunten weggeven, strafpunten krijgen) gaat je score naar beneden. In de tabel hieronder vind je een overzicht van wat er gebeurt met je score wanneer je bonuspunten of strafpunten krijgt of weggeeft.

Welke begrippen uit de wiskunde komen aan bod?

Voorbeeld 1

Silke is als eerste aan beurt om een vraag te stellen. Joke kiest ervoor om een gewone vraag te beantwoorden, maar beantwoordt deze fout. Silke moet dus 2 strafpunten geven aan Joke. Dat doet ze door één rood puntenkaartje met daarop een 2 aan Joke te geven.

Vervolgens schrijft Silke op haar scoreblad:

0 – (–2)

De 0 staat voor de begintoestand, dit is het aantal punten dat Silke had vóór de eerste vraag werd gesteld. Het minteken dat daar meteen op volgt is het bewerkingsteken en geeft aan dat er iets wordt afgetrokken van de score van Silke, want ze geeft punten weg, en weggeven is aftrekken. Het minteken dat binnen de haakjes staat, is het toestandsteken, en wijst erop dat het gaat om strafpunten, negatieve punten dus.  Aangezien Silke 2 strafpunten heeft kunnen weggeven, gaat haar globale score met 2 omhoog. Na deze eerste vraag is de stand voor Silke dus +2.

Als we dit in detail bekijken, dan zien we dat we hier gebruik maken van de tekenregel die zegt hoe je een bewerking kan vereenvoudigen, wanneer een bewerkingsteken meteen wordt gevolgd door een toestandsteken, zoals in "– (–" of in "+ (– ".  Een samenvatting van de tekenregel vind je in het kader hieronder. Onder het kader volgt wat uitleg.

In de linkerkolom van bovenstaand kader heb je de vier mogelijke gevallen (plus gevolgd door plus, min gevolgd door min, ...) maar het goede is dat je deze kan herleiden tot twee gevallen: het geval waarin het bewerkingsteken en het toestandsteken gelijk zijn (de eerste twee rijen in het kader) en het geval waarin ze verschillend zijn (de laatste twee rijen in het kader). Zijn de tekens gelijk aan elkaar (allebei plus of allebei min), dan mag je die vervangen door één enkel plusteken. Dat is wat je ziet in de derde kolom van links. Zijn de tekens verschillend van elkaar, dan mag je de twee tekens vervangen door één enkel minteken. 

Laat ons dit toepassen op ons voorbeeld. Op het scoreblad van Silke staat: 0 – (–2). Hier hebben we dus te maken met twee gelijke tekens (allebei min) en de tekenregel zegt dat we die mogen vervangen door één enkele plus. We kunnen 0 – (–2) dus vereenvoudigen tot 0 + 2.

Laat ons nu kijken naar wat Joke op haar scoreblad zal schrijven. Joke krijgt punten van Silke, en krijgen is optellen. Het bewerkingsteken zal dus een plusteken moeten zijn. De punten die ze krijgt zijn strafpunten en strafpunten geven we weer met een negatief getal. Het getal dat ze optelt zal dus een negatief getal zijn. Aangezien het ging om een gewone vraag die ze fout beantwoordde, gaat het om twee strafpunten. 

Joke moet dus het volgende neerschrijven op haar scoreblad: 

0 + (–2)

Ook nu kunnen we de tekenregel toepassen. Het verschil is wel dat we nu te maken hebben met twee verschillende tekens. Voor dat geval zegt de regel dat we beide tekens mogen vervangen door één enkel minteken. Dat geeft ons 0 – 2, en dus is de score van Joke na deze eerste vraag: –2.

In het kader hieronder vind je een samenvatting van wat Silke en Joke na deze eerste vraag op hun scoreblad hebben genoteerd.

Merk op dat de bewerkingen die Silke en Joke hebben genoteerd slechts verschillen wat betreft het bewerkingsteken. Dat is ook logisch: de twee strafpunten die Silke weggeeft, krijgt Joke erbij. Wat er bij Silke afgaat, komt er bij Joke bij, en omgekeerd.

Merk ook op dat de nieuwe scores van Joke en Silke elkaars tegengestelde zijn: Silke heeft +2 als score en Joke heeft –2 als score. Zoals je nog wel weet, zeggen we dat twee getallen elkaars tegengestelde zijn wanneer ze dezelfde absolute waarde hebben, en dus alleen van elkaar verschillen wat betreft het toestandsteken. Dat is hier het geval: +2 en –2 zijn tegengestelde getallen. Ze hebben dezelfde absolute waarde, namelijk 2, wat op hetzelfde neerkomt als zeggen dat ze alleen van elkaar verschillen wat betreft hun toestandsteken.

We kunnen dit laatste veralgemenen: als Silke en Joke het spel correct spelen en allebei hun scores correct bijhouden, dan zullen hun scores op elk moment in het spel tegengestelde getallen zijn. Als de een op een bepaald ogenblik bijvoorbeeld een score heeft van +12 dan zal de ander een score hebben van –12. Met andere woorden: als je de score van de ene kent, dan ken je ook de score van de andere. En als op een bepaald ogenblik op hun scoreblad scores staan die niet elkaars tegengestelde zijn, dan heeft een van beide een rekenfout gemaakt.  

Voorbeeld 2

Het spel gaat verder en nu is Joke aan de beurt om een vraag te stellen. Silke kiest voor een moeilijke vraag en beantwoordt deze correct. Dat betekent dat Joke 3 bonuspunten aan Silke moet geven. 

Er zijn wel alleen puntenkaartjes met waarde 1, 2 en 5. Dit lost Joke op door twee groene kaartjes aan Silke te geven, een eerste met daarop het getal 1 en een tweede met daarop het getal 2. 

Joke moet nu ook het effect noteren op haar scoreblad. Dat doet ze als volgt (het gele is wat er reeds stond na vraag 1, het blauwe wat er nieuw wordt toegevoegd):