Positief getal

Alle natuurlijke getallen zijn positief. Ze drukken uit hoeveel (hele) dingen je van iets hebt. Er zijn ook andere positieve getallen. Bijvoorbeeld: in de uitdrukking "driekwart broek" staat driekwart voor een positief getal. Ook het getal π (pi), dat de verhouding uitdrukt tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, is een positief getal. Hier heb je nog enkele voorbeelden:

• 25
• het getal googol (10 tot de macht 100; dus: een 1 gevolgd door 100 nullen)
• 0,25
• ⅘
• 17,3333...
• √2

In het algemeen staat een positief getal voor een waarde groter dan of gelijk aan nul. Althans ... als je in België woont, want in Nederland wordt de uitdrukking "positief getal" gebruikt om te verwijzen naar waarden groter dan nul. Dat heeft te maken met een verschillende opvatting over het getal nul. In België wordt nul beschouwd als een positief getal, in Nederland wordt nul niet beschouwd als een positief getal.

Je kan het idee van positieve getallen onthouden met het beeld van de Hilbert Wolkenkrabber. Deze denkbeeldige wolkenkrabber heeft een oneindig 

. Stel je een gebouw voor met 20 verdiepingen boven de grond en 20 verdiepingen onder de grond. Het getal 0 kan je dan gebruiken om te verwijzen naar de benedenverdieping, het getal 1 om te verwijzen naar de eerste verdieping enzovoort.

Neem je de lift naar de 1ste verdieping, dan stijgt de lift, en brengt ze je naar verdieping 1. Stijg je daarna nog een verdieping, dan kom je terecht op de 2de verdieping, en zo verder. Dus: hoe meer je stijgt met de lift, hoe groter het getal is dat je gebruikt om te verwijzen naar de verdieping waar je terecht komt. Voor alle verdiepingen waar je terecht kan komen door te vertrekken van nul en daarna alleen maar te stijgen, gebruiken we positieve getallen.

In ons gebouw met 20 verdiepingen boven de grond, is er een hoogste verdieping, namelijk de 20ste. Er zijn uiteraard hogere gebouwen, bijvoorbeeld de Burj Khalifa in Dubai. Deze wolkenkrabber telt maar liefst 163 verdiepingen en wordt tot op heden beschouwd als het hoogste gebouw ter wereld. Misschien is men nu ergens bezig aan de bouw voor een nog hoger gebouw, maar ook dat zal een eindig aantal verdiepingen hebben.

Zoals je weet is dat voor getallen anders. Er is geen grootste natuurlijk getal, en dus is er ook geen grootste positief getal, want alle natuurlijke getallen zijn positieve getallen. Je zou je dus eigenlijk een gebouw moeten voorstellen met een oneindig aantal verdiepingen. Laat ons een dergelijk gebouw een Hilbert wolkenkrabber noemen, naar de wiskundige David Hilbert die veel over oneindigheden heeft gewerkt. (David Hilbert introduceerde het beeld van een hotel met een oneindig aantal kamers. Een dergelijk denkbeeldig hotel noemen we vandaag een Hilbert hotel.)

Hoger heb ik vermeld dat er ook positieve getallen zijn die geen natuurlijke getallen zijn. Ook hiervoor kan je het beeld gebruiken van een Hilbert wolkenkrabber. Stel je bijvoorbeeld voor dat je de lift wil nemen naar de 9de verdieping, maar dat de lift blijft vastzitten tussen de 8ste en de 9de verdieping, dan zit je noch op de 8ste verdieping noch op de 9de verdieping, maar ergens tussenin. Je zit uiteraard wel nog steeds boven de grond. Het getal dat je gebruikt om te verwijzen naar je preciese plaats boven de grond zal dus een positief getal zijn. Zit je bijvoorbeeld precies in het midden tussen de achtste en de negende verdieping, dan zou je daarvoor het getal achtenhalf kunnen gebruiken, dat je kan schrijven als 8½ maar ook als 8,5.

Stel je nu voor dat de lift niet alleen naar de verdiepingen boven de grond gaat, maar ook naar de verdiepingen onder de grond. Stel je verder voor dat je op een dag vertrekt van de benedenverdieping (verdieping 0) en dat je drie verdiepingen daalt. Hoe verwijs je naar de verdieping waar je nu terecht komt? Je kan naar deze verdieping niet zomaar verwijzen met het getal 3, want dan zou er een verwarring zijn met de derde verdieping boven de grond. Je zou de verwarring kunnen vermijden door te spreken over "de derde verdieping onder de grond" of "de derde verdieping onder nul". Zoals je vindt op de pagina over negatieve getallen, kan je hiervoor ook getallen gebruiken. Deze zijn dan niet positief, maar negatief, en worden steeds voorafgegaan door een minteken. Op de pagina over negatieve getallen kan je lezen dat je naar de derde verdieping onder nul kan verwijzen met het (negatieve) getal –3.

Wat gebeurt er wanneer je de lift neemt om naar de 9de verdieping onder de grond te gaan (naar verdieping –9 dus), maar deze blijft vastzitten tussen de 8ste en de 9de verdieping onder de grond (tussen –8 en –9 dus)? Ook in dat geval zal je geen positief getal kunnen gebruiken, want anders onstaat er verwarring met ons geval van daarnet waarbij de lift bleef vastzitten tussen de 8ste en 9de verdieping boven de grond. Zit je precies in het midden tussen verdieping –8 en verdieping –9 dan zou je het getal –8,5 kunnen gebruiken om te verwijzen naar de plaats waar je vastzit, zie ook de pagina over negatieve getallen. Je gebruikt dus een getal dat geen positief getal is (maar wel een negatief getal).

Zoals je elders hebt gezien, kan je getallen ook voorstellen op een getallenlijn of een getallenas. Een voorbeeld van een getallenas is hieronder afgebeeld:

In het midden van deze getallenlijn, heb je het getal nul, en rechts van het getal nul, in het blauw, zijn de positieve getallen 1 tot en met 9 afgebeeld. Maak je de lijn langer aan de rechterkant, dan kan je ook getallen groter dan 9 afbeelden: 10 komt rechts van 9, 11 komt rechts van 10, enzovoort. Voor sommige getallen, zoals googol, zou de lijn wel heel erg ver naar rechts moeten doorlopen. Immers, als je, zoals op de getallenlijn hierboven, tussen 0 en 1 een afstand van één centimeter laat, dan zou je een blad nodig hebben dat even lang is als de omtrek van de aarde om het getal één miljard op je getallenlijn te kunnen plaatsen. En dan heb je nog maar een getal met 9 nullen (zoals je weet stel je het getal één miljard voor door een 1 gevolgd door 9 nullen), terwijl googol 100 nullen telt! Je blad waarop je het getal googol zou kunnen voorstellen zou dus vele malen rond de aarde moeten gaan.

Ook positieve getallen die geen natuurlijke getallen zijn kan je op een getallenlijn afbeelden en ook deze zullen steeds rechts van nul staan. Het getal 8,5 bijvoorbeeld zal zich precies in het midden bevinden tussen 8 en 9. Het getal √2 bevindt zich ongeveer in het midden tussen 1 en 2, en het getal π bevindt zich ergens tussen de getallen 3 en 4, maar dichter bij 3 dan bij 4, aangezien π , afgerond op drie cijfers na de komma, neerkomt op 3,142.

Ook hier kan het beeld van ons gebouw met verdiepingen boven en onder de grond helpen. Stel je immers voor dat we het gebouw van daarnet volledig uitgraven en op zijn rechterzij leggen, zoals in de afbeelding hieronder. 

OUD:

• Positieve getallen. Alle natuurlijke getallen zijn positief. Ze drukken uit hoeveel (hele) dingen je van iets hebt (lees eventueel opnieuw wat je vindt bij "natuurlijke getallen"). Er zijn ook andere positieve getallen. Bijvoorbeeld: in de uitdrukking "driekwart broek" staat driekwart voor een positief getal. Ook het getal π (pi), dat de verhouding uitdrukt tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, is een positief getal. In het algemeen staat een positief getal voor een waarde groter dan of gelijk aan nul. Althans ... als je in België woont, want in Nederland wordt de uitdrukking "positief getal" gebruikt om te verwijzen naar waarden groter dan nul. Dat heeft te maken met het meningsverschil over het getal nul. In België wordt nul beschouwd als een positief getal (maar ook als een negatief getal, zie verder). In Nederland wordt nul niet beschouwd als een positief getal (maar ook niet als een negatief getal).

OOK OUD

Alle natuurlijke getallen zijn positief. Ze drukken uit hoeveel (hele) dingen je van iets hebt. Lees eventueel opnieuw wat je vindt bij natuurlijke getallen.

Er zijn ook andere positieve getallen. Bijvoorbeeld: in de uitdrukking "driekwart broek" staat driekwart voor een positief getal. Ook het getal π (pi), dat de verhouding uitdrukt tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, is een positief getal. Hier heb je nog enkele voorbeelden:

• 25
• het getal googol (10 tot de macht 100; dus: een 1 gevolgd door 100 nullen)
• 0,25
• ⅘
• 17,3333...
• √2

In het algemeen staat een positief getal voor een waarde groter dan of gelijk aan nul. Althans ... als je in België woont, want in Nederland wordt de uitdrukking "positief getal" gebruikt om te verwijzen naar waarden groter dan nul. Dat heeft te maken met een verschillende opvatting over het getal nul. In België wordt nul beschouwd als een positief getal, in Nederland wordt nul niet beschouwd als een positief getal.

Je kan het idee van positieve getallen onthouden met een beeld. Stel je een gebouw voor met 20 verdiepingen boven de grond en 20 verdiepingen onder de grond. Het getal 0 kan je dan gebruiken om te verwijzen naar de benedenverdieping, het getal 1 om te verwijzen naar de eerste verdieping enzovoort.

Neem je de lift naar de 1ste verdieping, dan stijgt de lift, en brengt ze je naar verdieping 1. Stijg je daarna nog een verdieping, dan kom je terecht op de 2de verdieping, en zo verder. Dus: hoe meer je stijgt met de lift, hoe groter het getal is dat je gebruikt om te verwijzen naar de verdieping waar je terecht komt. Voor alle verdiepingen waar je terecht kan komen door te vertrekken van nul en daarna alleen maar te stijgen, gebruiken we positieve getallen.

In ons gebouw met 20 verdiepingen boven de grond, is er een hoogste verdieping, namelijk de 20ste. Er zijn uiteraard hogere gebouwen, bijvoorbeeld de Burj Khalifa in Dubai. Deze wolkenkrabber telt maar liefst 163 verdiepingen en wordt tot op heden beschouwd als het hoogste gebouw ter wereld. Misschien is men nu ergens bezig aan de bouw voor een nog hoger gebouw, maar ook dat zal een eindig aantal verdiepingen hebben.

Zoals je weet is dat voor getallen anders. Er is geen grootste natuurlijk getal, en dus is er ook geen grootste positief getal, want alle natuurlijke getallen zijn positieve getallen. Je zou je dus eigenlijk een gebouw moeten voorstellen met een oneindig aantal verdiepingen. Laat ons een dergelijk gebouw een Hilbert wolkenkrabber noemen, naar de wiskundige David Hilbert die veel over oneindigheden heeft gewerkt. (David Hilbert introduceerde het beeld van een hotel met een oneindig aantal kamers. Een dergelijk denkbeeldig hotel noemen we vandaag een Hilbert hotel.)

Hoger heb ik vermeld dat er ook positieve getallen zijn die geen natuurlijke getallen zijn. Ook hiervoor kan je het beeld gebruiken van een Hilbert wolkenkrabber. Stel je bijvoorbeeld voor dat je de lift wil nemen naar de 9de verdieping, maar dat de lift blijft vastzitten tussen de 8ste en de 9de verdieping, dan zit je noch op de 8ste verdieping noch op de 9de verdieping, maar ergens tussenin. Je zit uiteraard wel nog steeds boven de grond. Het getal dat je gebruikt om te verwijzen naar je preciese plaats boven de grond zal dus een positief getal zijn. Zit je bijvoorbeeld precies in het midden tussen de achtste en de negende verdieping, dan zou je daarvoor het getal achtenhalf kunnen gebruiken, dat je kan schrijven als 8½ maar ook als 8,5.

Stel je nu voor dat de lift niet alleen naar de verdiepingen boven de grond gaat, maar ook naar de verdiepingen onder de grond. Stel je verder voor dat je op een dag vertrekt van de benedenverdieping (verdieping 0) en dat je drie verdiepingen daalt. Hoe verwijs je naar de verdieping waar je nu terecht komt? Je kan naar deze verdieping niet zomaar verwijzen met het getal 3, want dan zou er een verwarring zijn met de derde verdieping boven de grond. Je zou de verwarring kunnen vermijden door te spreken over "de derde verdieping onder de grond" of "de derde verdieping onder nul". Zoals je vindt op de pagina over negatieve getallen, kan je hiervoor ook getallen gebruiken. Deze zijn dan niet positief, maar negatief, en worden steeds voorafgegaan door een minteken. Op de pagina over negatieve getallen kan je lezen dat je naar de derde verdieping onder nul kan verwijzen met het (negatieve) getal –3.

Wat gebeurt er wanneer je de lift neemt om naar de 9de verdieping onder de grond te gaan (naar verdieping –9 dus), maar deze blijft vastzitten tussen de 8ste en de 9de verdieping onder de grond (tussen –8 en –9 dus)? Ook in dat geval zal je geen positief getal kunnen gebruiken, want anders onstaat er verwarring met ons geval van daarnet waarbij de lift bleef vastzitten tussen de 8ste en 9de verdieping boven de grond. Zit je precies in het midden tussen verdieping –8 en verdieping –9 dan zou je het getal –8,5 kunnen gebruiken om te verwijzen naar de plaats waar je vastzit, zie ook de pagina over negatieve getallen. Je gebruikt dus een getal dat geen positief getal is (maar wel een negatief getal).

Zoals je elders hebt gezien, kan je getallen ook voorstellen op een getallenlijn of een getallenas. Een voorbeeld van een getallenas is hieronder afgebeeld:

====

In het midden van deze getallenlijn, heb je het getal nul, en rechts van het getal nul, in het blauw, zijn de positieve getallen 1 tot en met 9 afgebeeld. Maak je de lijn langer aan de rechterkant, dan kan je ook getallen groter dan 9 afbeelden: 10 komt rechts van 9, 11 komt rechts van 10, enzovoort. Voor sommige getallen, zoals googol, zou de lijn wel heel erg ver naar rechts moeten doorlopen. Immers, als je, zoals op de getallenlijn hierboven, tussen 0 en 1 een afstand van één centimeter laat, dan zou je een blad nodig hebben dat even lang is als de omtrek van de aarde om het getal één miljard op je getallenlijn te kunnen plaatsen. En dan heb je nog maar een getal met 9 nullen (zoals je weet stel je het getal één miljard voor door een 1 gevolgd door 9 nullen), terwijl googol 100 nullen telt! Je blad waarop je het getal googol zou kunnen voorstellen zou dus vele malen rond de aarde moeten gaan.

Ook positieve getallen die geen natuurlijke getallen zijn kan je op een getallenlijn afbeelden en ook deze zullen steeds rechts van nul staan. Het getal 8,5 bijvoorbeeld zal zich precies in het midden bevinden tussen 8 en 9. Het getal √2 bevindt zich ongeveer in het midden tussen 1 en 2, en het getal π bevindt zich ergens tussen de getallen 3 en 4, maar dichter bij 3 dan bij 4, aangezien π , afgerond op drie cijfers na de komma, neerkomt op 3,142.

Ook hier kan het beeld van ons gebouw met verdiepingen boven en onder de grond helpen. Stel je immers voor dat we het gebouw van daarnet volledig uitgraven en op zijn rechterzij leggen, zoals in de afbeelding hieronder. 

=========

Nadat de toren op zijn zij is gelegd, zal de benedenverdieping in het midden liggen, de verdiepingen boven de grond zullen rechts daarvan liggen, en de verdiepingen onder de grond links daarvan. Stijgen met de lift komt op de getallenas overeen met naar rechts gaan, en dalen met de lift komt op de getallenas overeen met naar links gaan. Stijgen naar een verdieping boven de grond komt op de getallenas overeen met naar een getal rechts van 0 gaan, en dalen naar een verdieping onder de grond komt op de getallenas overeen met naar een getal links van 0 te gaan. Dit beeld kan helpen om te onthouden dat alle positieve getallen rechts van 0 liggen, en dat hoe meer je naar rechts gaat, hoe groter het getal wordt. 

OUD

Je kan het idee van positieve getallen onthouden met een beeld. Stel je een gebouw voor met 20 verdiepingen boven de grond en 20 verdiepingen onder de grond. Het getal 0 kan je dan gebruiken om te verwijzen naar de benedenverdieping, het getal 1 om te verwijzen naar de eerste verdieping enzovoort.

Neem je de lift naar de 1ste verdieping, dan stijgt de lift, en brengt ze je naar verdieping 1. Stijg je daarna nog een verdieping, dan kom je terecht op de 2de verdieping, en zo verder. Dus: hoe meer je stijgt met de lift, hoe groter het getal is dat je gebruikt om te verwijzen naar de verdieping waar je terecht komt. Voor alle verdiepingen waar je terecht kan komen door te vertrekken van nul en daarna alleen maar te stijgen, gebruiken we positieve getallen.

In ons gebouw met 20 verdiepingen boven de grond, is er een hoogste verdieping, namelijk de 20ste. Er zijn uiteraard hogere gebouwen, bijvoorbeeld de Burj Khalifa in Dubai. Deze wolkenkrabber telt maar liefst 163 verdiepingen en wordt tot op heden beschouwd als het hoogste gebouw ter wereld. Misschien is men nu ergens bezig aan de bouw voor een nog hoger gebouw, maar ook dat zal een eindig aantal verdiepingen hebben.

Zoals je weet is dat voor getallen anders. Er is geen grootste natuurlijk getal, en dus is er ook geen grootste positief getal, want alle natuurlijke getallen zijn positieve getallen. Je zou je dus eigenlijk een gebouw moeten voorstellen met een oneindig aantal verdiepingen. Laat ons een dergelijk gebouw een Hilbert wolkenkrabber noemen, naar de wiskundige David Hilbert die veel over oneindigheden heeft gewerkt. (David Hilbert introduceerde het beeld van een hotel met een oneindig aantal kamers. Een dergelijk denkbeeldig hotel noemen we vandaag een Hilbert hotel.)