Van natuurlijke naar gehele getallen

De eerste getallen die je als kind leert, zijn de natuurlijke getallen. De natuurlijke getallen zijn alle hele getallen, getallen die je gebruikt om uit te drukken hoeveel dingen er van iets zijn, zonder dat je die dingen in stukken breekt of verdeelt. Bijvoorbeeld: er zijn vijftien leerlingen in je klas, er liggen vijf appels in de fruitmand, er staan twee auto's voor de deur, en je papa heeft nul muntstukken in zijn linker broekzak.

Er is een kleinste natuurlijk getal, namelijk nul, maar er is geen grootste natuurlijk getal. Er zijn dus oneindig veel natuurlijke getallen.

Ondanks het feit dat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn, kan je de natuurlijke getallen op zo'n manier op een rijtje zetten dat elk natuurlijk getal ergens in dat rijtje voorkomt. Dat rijtje is vanzelfsprekend oneindig lang en jij zou oneindig lang moeten leven om dat rijtje af te lopen.

Het oneindige rijtje dat alle natuurlijke getallen bevat, bekom je door te beginnen bij nul, het kleinste natuurlijk getal, en er telkens 1 bij op te tellen. Het rijtje ziet er dus als volgt uit:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...

De drie puntjes op het einde wijzen erop dat het niet stopt bij 21, maar dat het rijtje oneindig lang verdergaat op dezelfde manier, namelijk door telkens 1 op te tellen bij het laatste getal in het rijtje. 

Samenvattend. Natuurlijke getallen worden gebruikt om uit te drukken hoeveel (hele) dingen er van iets zijn en worden bekomen door, beginnend bij 0, telkens 1 op te tellen, zoals je doet wanneer je op je vingers telt. Alleen, je zou oneindig veel vingers nodig hebben om alle natuurlijke getallen op je vingers te kunnen tellen.

Natuurlijke getallen kom je op allerlei plaatsen tegen: op borden die aangeven wat de maximum snelheid is in een bepaalde straat, aan de onderkant van schoenen (voor de schoenmaat), op wasvoorschriften in kleding, ... 

Je vindt ze ook op de knoppen van liften in torengebouwen. De lift in de Boerentoren in Antwerpen is zo'n voorbeeld, links hieronder zie je een foto. De Boerentoren werd gebouwd in 1931 en was de eerste wolkenkrabber in Europa. Het was lange tijd zelfs het hoogste torengebouw van heel Europa. 

De boerentoren heeft in totaal dertig verdiepingen: een benedenverdieping, daarboven vijfentwintig andere verdiepingen, en ook nog vier verdiepingen onder de grond. Met een lift kan je naar de hoogste verdieping gaan, maar ook naar de laagste.  

Stel je voor dat je op bezoek bent in de Boerentoren en dat je beslist om, vertrekkend van de benedenverdieping, met de lift naar de hoogste verdieping te gaan. Dan zal je op de knop met daarop "25" moeten duwen. Stijgt de lift vervolgens naar verdieping 25, dan kom je voorbij alle andere verdiepingen boven de grond (verdieping 1, verdieping 2, ...). Hoe hoger je stijgt, hoe groter de afstand wordt tot de benedenverdieping. En hoe groter de afstand is tot de benedenverdieping, hoe groter het getal is dat je gebruikt om te verwijzen naar de verdieping die je passeert. 

Beslis je om terug naar de benedenverdieping te gaan, dan zal je op de knop met daarop 0 moeten duwen, want de benedenverdieping is verdieping 0. Op je weg naar beneden, passeer je dezelfde verdiepingen, maar nu in omgekeerde volgorde (verdieping 24, verdieping 23, verdieping 22, ...). Hoe meer je daalt, hoe kleiner de afstand wordt tot de benedenverdieping. En, hoe kleiner de afstand is tot de benedenverdieping, hoe kleiner het getal is dat je gebruikt om te verwijzen naar de verdieping die je passeert.

Stel dat je nu ook nog een bezoek wil brengen aan de laagste verdieping van de Boerentoren, de vierde verdieping onder de grond dus. Daarvoor stap je opnieuw in de lift op de benedenverdieping (verdieping 0). Op welke knop zal je moeten duwen om naar de vierde verdieping onder de grond te gaan? Welk getal zal er bij de knop staan voor die verdieping?

Dat zal niet het getal 4 zijn, want op die knop duwen brengt je naar de vierde verdieping boven de grond. Hoe vermijd je verwarring tussen de vierde verdieping boven de grond en de vierde verdieping onder de grond? 

De oplossing die men hiervoor al lang geleden heeft bedacht is om een plusteken te gebruiken om te verwijzen naar verdiepingen boven de grond en een minteken om te verwijzen naar verdiepingen onder de grond. Naar de vierde verdieping boven de grond verwijs je dus met het getal +4 en naar de vierde verdieping onder de grond met het getal –4. 

Omdat de verwarring ook al kan worden vermeden door enkel een ander getal te gebruiken voor verdiepingen onder de grond, wordt het plusteken voor de verdiepingen boven de grond normaal gezien weggelaten. Dat is ook zo in de Boerentoren. Wil je naar de vierde verdieping boven de grond, dan druk je op de knop met daarop "4". Wil je naar de vierde verdieping onder de grond, dan druk je op de knop met daarop –4. En zo is er nooit verwarring of je nu naar een verdieping onder of boven de grond wil.

Wanneer je in de Boerentoren, vertrekkend van de benedenverdieping (verdieping 0) naar de laagste verdieping gaat (verdieping –4), dan passeer je de andere verdiepingen onder de grond: eerst verdieping –1, daarna verdieping –2, ... 

Elk van de getallen die we gebruiken om te verwijzen naar de verdiepingen die je passeert (–1, –2, ...) zijn kleiner dan 0. En, hoe verder onder de grond de verdieping zich bevindt, hoe kleiner het getal dat we gebruiken om te verwijzen naar de verdieping in kwestie. Dus: –1 is kleiner dan 0, –2 is kleiner dan –1, –3 is kleiner dan –2, enzovoort.

Aangezien de Boerentoren 25 verdiepingen boven de benedenverdieping telt en vier verdiepingen onder de benedenverdieping, hebben we in totaal 30 getallen nodig om te verwijzen naar de verschillende verdiepingen. Als we deze ordenen, van klein naar groot, dan krijgen we dit lijstje:

–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25  

De getallen die groter zijn dan 0 staan rechts van 0 en zijn allemaal natuurlijke getallen. Deze drukken uit hoeveel keer je 1 bij 0 moet optellen om het getal in kwestie bekomen. Om bijvoorbeeld 4 te bekomen moet je vier keer 1 optellen bij 0. Hoe meer een getal naar rechts staat, hoe vaker je 1 moet optellen bij 0 om het getal in kwestie te bekomen.

De getallen die kleiner zijn dan 0 beginnen met een minteken en staan links van 0. Deze getallen drukken uit hoeveel keer je 1 van 0 moet aftrekken om het getal in kwestie te bekomen. Om bijvoorbeeld –4 te bekomen moet je vier keer 1 aftrekken van 0. Hoe meer een getal naar links staat, hoe vaker je 1 moet aftrekken van 0 om het getal in kwestie te bekomen.  

Getallen die je kan bekomen door ofwel een aantal keer 1 op te tellen bij 0 ofwel een aantal keer 1 af te trekken van 0, noemen we gehele getallen. 

Merk op dat hieruit volgt dat alle natuurlijke getallen gehele getallen zijn. De natuurlijke getallen kan je immers bekomen door een aantal keer 1 bij nul op te tellen. Het getal 17 bijvoorbeeld bekom je door zeventien keer 1 bij 0 op te tellen. Het omgekeerde geldt niet: niet alle gehele getallen zijn natuurlijke getallen. Het getal –4 bijvoorbeeld is wel een geheel getal, maar geen natuurlijk getal. Het getal –4 kan je immers nooit bekomen door een aantal keer 1 bij nul op te tellen.

Het teken dat aangeeft of een geheel getal kleiner is dan nul dan wel groter dan nul, noemen we een toestandsteken. Het toestandsteken kan positief zijn, en dan is het een plusteken (+), maar ook negatief, en dan is het een minteken (–). 

Getallen waarvan het toestandsteken positief is, zoals +3, noemen we positieve gehele getallen. Zoals we hebben gezien, wordt dat plusteken vaak weggelaten, zoals bijvoorbeeld wanneer we verwijzen naar de verdiepingen boven de grond in een torengebouw. De notatie met het plusteken is dus gewoon een andere manier om te verwijzen naar de natuurlijke getallen. Het getal +3 bijvoorbeeld is gelijk aan het getal 3, wat we in symbolen noteren als +3 = 3. Onthoud wel dat, zelfs als we het plusteken niet schrijven, we nog steeds zeggen dat het toestandsteken van een positief geheel getal, positief is.

Getallen waarvan het toestandsteken negatief is, zoals –3, noemen we negatieve gehele getallen. Als we terugkeren naar de Boerentoren, dan zie je dat de negatieve gehele getallen gebruikt worden om te verwijzen naar verdiepingen die zich bevinden onder de benedenverdieping (verdieping 0). 

Samenvattend. Positieve gehele getallen hebben een positief toestandsteken. Als we dit schrijven, dan schrijven we het als een plusteken, maar meestal laten we het weg. Negatieve gehele getallen hebben een negatief toestandsteken. Dit schrijven we altijd, en noteren me als een minteken.

Wat met het getal nul? Is nul een positief geheel getal of een negatief geheel getal? Daarover verschillen de meningen. Waar iedereen het over eens is, is dat nul een geheel getal is, want het is een natuurlijk getal. Maar, niet iedereen geeft hetzelfde antwoord op de vraag of 0 positief dan wel negatief is. Onder meer in België en Frankrijk wordt nul beschouwd als een positief geheel getal en ook als een negatief geheel getal, maar in Nederland bijvoorbeeld wordt nul niet beschouwd als een positief getal en ook niet als een negatief getal. 

Om verwarring te vermijden spreken we in België daarom ook wel over de strikt positieve gehele getallen (dat zijn alle positieve gehele getallen, maar dan zonder nul), en over de strikt negatieve gehele getallen (dat zijn alle negatieve gehele getallen, maar opnieuw zonder nul). 

Hierboven hebben we de lift in de Boerentoren gebruikt om te illustreren waarom de natuurlijke getallen niet volstaan om naar alle verdiepingen van de Boerentoren te verwijzen: als we voor de verdiepingen boven de grond natuurlijke getallen gebruiken, dan is het handig om andere getallen te hebben waarmee we naar de verdiepingen onder de grond kunnen verwijzen. 

Zelf zie je misschien een andere oplossing, waarmee je toch naar alle verdiepingen van de Boerentoren zou kunnen verwijzen met natuurlijke getallen. De laagste verdieping in de Boerentoren is vier verdiepingen onder 0. In plaats van die "verdieping –4" te noemen, zou je die ook verdieping 1 kunnen noemen. Wat nu verdieping 0 is, zou dan gewoon verdieping 5 worden, en de hoogste verdieping, zou dan verdieping 30 worden. We zouden kunnen afspreken dat we dit vanaf nu doen, niet alleen voor de Boerentoren, maar voor alle torengebouwen. En dan zouden we geen negatieve gehele getallen nodig hebben. 

Deze oplossing heeft wel een groot nadeel: als je verdiepingen bijbouwt onder de grond, dan moet je alle verdiepingen hernummeren. Want, stel bijvoorbeeld dat men in de Boerentoren, alle verdiepingen zou herbenoemen: de huidige verdieping –4 wordt verdieping 1, de huidige verdieping –3 wordt verdieping 2, en zo ga je verder tot je komt aan de hoogste verdieping, die dan verdieping 30 zal worden. En stel nu dat, nadat alle verdiepingen herbenoemd zijn, men een nog verdieping onder de grond bijbouwt. Die nog lagere verdieping zou je verdieping 0 kunnen noemen. Maar, wat als men er later nog een bijbouwt, die nog lager is? De getallen 0 tot en met 30 heb je intussen gebruikt, zou je dan 31 gebruiken om te verwijzen naar de nieuwe laagste verdieping? Dit zou wel heel verwarrend worden: het getal 5 zou verwijzen naar de benedenverdieping, de getallen 6 tot en met 30 zouden verwijzen naar de verdiepingen die je vanop de benedenverdieping kan bereiken door te stijgen, maar verdieping 31 zou dan plots verwijzen naar de allerlaagste verdieping. Om te zorgen dat mensen er nog aan uit kunnen zou je dus best alle verdiepingen herbenoemen, zodat je het getal 31 kan gebruiken voor de hoogste verdieping. Maar, dan zal iedereen die in het gebouw werkt of woont, zijn visitekaartjes moeten aanpassen, wat ook niet leuk is.   

De moraal van dit verhaal: er zijn toepassingen waarbij het heel intuïtief is om met negatieve gehele getallen te werken, en waar het net moeilijker zou worden als we alleen natuurlijke getallen zouden gebruiken. Dit geldt voor kelderverdiepingen in een torengebouw, maar bijvoorbeeld ook voor afstanden onder de zeespiegel, en voor temperaturen onder 0 graden celsius. Kan je zelf andere toepassingen bedenken? 

Er is wel iets dat mank loopt in onze vergelijking met de Boerentorenlift. De Boerentoren heeft een hoogste verdieping, namelijk verdieping 25, maar 25 is niet het grootste positief geheel getal. Nu zijn er wel hogere gebouwen dan de Boerentoren, bijvoorbeeld de Burj Khalifa wolkenkrabber in Dubai, die maar liefst 163 verdiepingen telt en tot op heden wordt beschouwd als het hoogste torengebouw ter wereld, maar ook 163 is niet het grootste positief geheel getal. En zelfs als men steeds hogere wolkenkrabbers zou bouwen, dan nog zal er nooit één zijn met een verdieping voor elk positief geheel getal. Immers, elk concreet gebouw, hoe hoog ook, zal een eindig aantal verdiepingen boven de grond hebben, terwijl er een oneindig aantal natuurlijke getallen zijn, en dus uiteraard ook een oneindig aantal positieve gehele getallen.

Hetzelfde verhaal krijgen we voor de verdiepingen onder de grond. Er zijn ongetwijfeld torengebouwen met meer verdiepingen onder de grond dan de Boerentoren, maar hoeveel dat er ook zijn, het zal steeds een eindig aantal zijn, terwijl er een oneindig aantal negatief gehele getallen zijn. Als je dat niet meteen ziet, herinner je dan dat de negatieve gehele getallen worden bekomen door te beginnen bij 0 en telkens 1 af te trekken, en dat je dit tot in het oneindige kan blijven doen: 0 min 1 geeft je –1, –1 min 1 geeft je –2, –2 min 1 geeft je –3, en zo verder tot in het oneindige. Er zal dus nooit een gebouw bestaan dat even veel verdiepingen onder de grond heeft als er negatieve gehele getallen zijn. 

Merk op dat we hier op een belangrijk verschil stuiten tussen de natuurlijke getallen en de gehele getallen. Waar er voor de natuurlijke getallen tenminste nog een kleinste getal was (namelijk nul), is er voor de gehele getallen niet alleen geen grootste getal, maar ook geen kleinste getal. 

Dus: waar de natuurlijke getallen oneindig zijn "in één richting" (er is een kleinste getal, maar geen grootste), zijn de gehele getallen "oneindig in twee richtingen": voor elk positief geheel, hoe groot ook, is er een dat nog groter is, en voor elk negatief geheel getal, hoe klein ook, is er een dat nog kleiner is.

Niettemin kan je de gehele getallen, net als de natuurlijke getallen, op een rijtje zetten, zodat elk geheel getal ergens in dat rijtje een plaats heeft. Dat rijtje zal uiteraard oneindig moeten zijn, en dat in twee richtingen. 

Het oneindige rijtje bekom je door 0 als "middelpunt" te nemen. Rechts van 0 zet je de getallen die je bekomt door telkens 1 op te tellen, en links van 0 zet je de getallen die je bekomt door telkens 1 af te trekken. Het rijtje ziet er dus als volgt uit:

..., –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  ... 

waarbij de drie puntjes aan beide kanten aangeven aan dat het rijtje in twee richtingen oneindig doorloopt. De getallen rechts van 0 zijn de positieve gehele getallen, de getallen links van 0 zijn de negatieve gehele getallen.