Tegengestelde getallen

In de vorige stappen hebben we gezien wat we verstaan onder een geheel getal. Een getal wordt een geheel getal genoemd wanneer de absolute waarde van dat getal een natuurlijk getal is. Met de absolute waarde van een getal bedoelen we het getal dat we bekomen, wanneer we het toestandsteken weglaten. Voorbeelden:

• De absolute waarde van –5 is 5, in symbolen |–5| = 5. Aangezien 5 een natuurlijk getal is, is –5 een geheel getal.
• De absolute waarde van +5 is 5, in symbolen |+5| = 5. Aangezien 5 een natuurlijk getal is, is +5 een geheel getal.
• De absolute waarde van 5 is 5, in symbolen |5| = 5. Aangezien 5 een natuurlijk getal is, is 5 een geheel getal.
• De absolute waarde van –⅙ is ⅙, in symbolen |–⅙ | = ⅙. Aangezien ⅙ geen natuurlijk getal is, is –⅙ geen geheel getal. 
• De absolute waarde van –0,55 is 0,55, in symbolen |–0,55| = 0,55. Aangezien 0,55 geen natuurlijk getal is, is –0,55 geen geheel getal.

Uit de bovenstaande bepaling volgt dat elk natuurlijk getal een geheel getal is. De absolute waarde van een natuurlijk getal is immers dat getal zelf. Het omgekeerde geldt niet: niet elk geheel getal is een natuurlijk getal. Het getal –5 bijvoorbeeld is een geheel getal, maar geen natuurlijk getal. 

De natuurlijke getallen die wel gehele getallen zijn, zijn allemaal positieve getallen. We noemen ze daarom ook wel de positieve gehele getallen. De gehele getallen die geen natuurlijke getallen zijn (zoals –5) zijn allemaal negatieve getallen en noemen we daarom de negatieve gehele getallen. 

Later zullen we bewerkingen zien met gehele getallen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen). Daarvoor zal het belangrijk zijn dat je inziet dat elk geheel getal twee soorten informatie bevat:

1. De afstand van het getal tot 0. Deze informatie zit vervat in de absolute waarde van het getal.
2.  De "toestand" van het getal. Daarmee wordt bedoeld of het getal positief dan wel negatief is, met andere woorden of het groter dan wel kleiner is dan 0. Deze informatie zit vervat in het toestandsteken.

Om deze twee soorten informatie aanschouwelijk te maken, kan het helpen om terug te denken aan de Hilbert Wolkenkrabber. 

Zoek eerst verdieping 7. De afstand van verdieping 7 tot de benedenverdieping (verdieping 0) is zeven. Je moet immers zeven verdiepingen stijgen om verdieping 7 te bereiken. Dit wordt uitgedrukt door de absolute waarde van 7, en dat is niets anders dan 7 zelf. In symbolen: |7| = 7. De "toestand" van 7 is positief. Immers, als een getal niet begint met een toestandsteken, dan moet je ervan uitgaan dat het positief is.

Het getal 7 is dus zeven "stappen" groter dan nul.

Zoek nu verdieping –7. De afstand van verdieping –7 tot de benedenverdieping (verdieping 0) is zeven. Je moet immers zeven verdiepingen dalen om verdieping 7 te bereiken. Dit wordt uitgedrukt door de absolute waarde van –7, en dat is 7. In symbolen: |–7| = 7. De "toestand" van –7 is negatief. Dat zie je aan het feit dat het toestandsteken een minteken is, en dus negatief is. 

Het getal –7 is dus zeven "stappen" kleiner dan nul. 

Wat we zonet hebben gedaan voor 7, kunnen we voor elk positief geheel getal doen: voor elk positief geheel getal is er een negatief geheel getal met dezelfde absolute waarde. En, omgekeerd, voor elk negatief geheel getal is er een positief geheel getal met dezelfde absolute waarde. 

Getallen met dezelfde absolute waarde, maar een verschillend toestandsteken, noemen we tegengestelde getallen. We zeggen dat 7 het tegengestelde is van –7, en omgekeerd dat –7 het tegengestelde is van 7.

Het tegengestelde van een getal bekom je dus eenvoudigweg door het toestandsteken te veranderen: je behoudt de absolute waarde, maar verandert het toestandsteken van positief naar negatief, of omgekeerd.

Als we symbolen gebruiken, dan verwijzen we naar het tegengestelde van een getal door er een minteken voor te plaatsen en het getal zelf tussen haakjes te plaatsen. Als we bijvoorbeeld schrijven –(–9), dan verwijzen we daarmee naar het tegengestelde van –9, en dat is: +9, wat we ook kunnen schrijven als 9. 

Gaat dat laatste iets te snel, denk dan terug aan het beeld van de Hilbert Wolkenkrabber. Stel dat je de lift hebt genomen naar verdieping –9, maar dat je eigenlijk het tegengestelde had moeten doen. In plaats van negen verdiepingen te dalen (om –9 te bereiken) had je dus eigenlijk negen verdiepingen moeten stijgen. Door negen verdiepingen te dalen, kom je terecht op verdieping –9, maar door het tegengestelde daarvan te doen, kom je terecht op verdieping 9. Dat je het tegengestelde moet doen van negen verdiepingen dalen, kan je in symbolen noteren als –(–9). Dit lees je als "het tegengestelde van min negen". 

Het tegengestelde van min negen is dus plus negen of, gewoonweg, negen. In symbolen kan je dit noteren als:

–(–9) = +9 = 9 

Op de begrippen "tegengestelde getallen" en "tegengestelde van een getal" kom ik later nog terug als we het hebben over de tekenregel.